ruido blanco

El ruido blanco es un caso particular de proceso estocástico WSS en el que las variables aleatorias que lo forman no están correlacionadas. Es decir, si se tiene un proceso estocástico $w (k)$ WSS (lo supodremos de tiempo discreto y real, equivalentemente para procesos de tiempo continuo), debe ocurrir que

$\mu_w = \mathbb{E}\{ w(k)\} = 0$

$R_{ww}(\Delta) = \mathbb{E}\{ w(k) w(k - \Delta)\} = \sigma^2 \delta(\Delta)$

Si en lugar de tener la distribución de probabilidad del proceso lo que tenemos es una realización temporal del mismo en forma de vector columna $\mathbf{w}$ (lo más usual), entonces las ecuaciones anteriores se expresan normalmente en forma matricial

$\mu_w = \mathbb{E}\{ \mathbf{w} \} = 0$

$R_{ww} = \mathbb{E}\{ \mathbf{w} \mathbf{w}^T\} = \sigma^2 \mathbf{I}$

Como el proceso no está correlacionado, su función de autocorrelación es una delta y su densidad espectral de potencia (PSD, Power Spectral Density) $S x x (f)$ es una constante

S x x (f) = TF{R w w (Δ)} = TF{σ 2 δ(Δ)} = σ 2

Como la PSD es constante, la señal no está limitada en banda y su potencia es -teóricamente- infinita. En la práctica, se considera que una señal es blanca si su PSD es constante en la banda de frecuencia de interés en la aplicación. Por ejemplo: si se trata de una aplicación de audio, el ruido será blanco si su espectro es plano entre 20Hz y 20KHz que es la banda de frecuencia audible por el oído humano.

En cualquier proceso estocástico existen siempre dos componentes:

Una componente innovadora, que no se puede predecir mediante predicción lineal y que representa la entropía, la incertidumbre, el caos, lo que no se puede predecir de ninguna manera
Una componente redundante que es posible predecir y, por tanto, eliminar. En esto se basan las técnicas de compresión sin pérdidas de la señal como, por ejemplo, ADPCM o más específicamente para señales de voz la norma G.721

La PSD es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación, y como esta es una transformación matemática unívoca, se ve que la función de autocorrelación y la PSD contienen básicamente la misma información acerca de una señal. Son dos formas distintas de ver lo mismo: el grado de entropía de una señal. La entropía de una señal en este caso puede verse como una medida de lo plano que es su espectro. Una señal cuyo espectro no sea plano se dice que está "coloreada" (autocorrelacionada o que tiene redundancia).

El ruido blanco es un proceso completamente innovador, caótico, no tiene redundancia y por tanto no se puede comprimir.

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